## Τετάρτη, 7 Δεκεμβρίου 2011

### Pedal Triangle. Locus

Let ABC be a triangle, P = (x:y:z) a point, A'B'C' the pedal triangle of P, A"B"C" the circumcevian triangle of A'B'C' with respect its circumcircle (pedal circle of P), and L a line passing through P.

Let A*,B*,C* be the orthogonal projections of A",B",C" on L, resp. The triangles ABC, A*B*C* are perspective. Which is the locus of the perspectors as L moves around P?

APH, 7 December 2011

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I find that the locus is a quartic whose isotomic conjugate is a conic (it seems that it is always a ellipse).

I give the (long) equation of the conic for an arbitrary point P=(u:v:w).
(I use (u:v:w) for the given point P, then I can use (x:y:z) for a point of the locus when L varies through P.)

16 a^2 c^6 u^4 v^4 x^2 + 4 a^6 c^2 u^4 v^3 w x^2 -
8 a^4 b^2 c^2 u^4 v^3 w x^2 + 4 a^2 b^4 c^2 u^4 v^3 w x^2 -
24 a^4 c^4 u^4 v^3 w x^2 + 40 a^2 b^2 c^4 u^4 v^3 w x^2 +
20 a^2 c^6 u^4 v^3 w x^2 + 4 a^6 c^2 u^3 v^4 w x^2 -
8 a^4 b^2 c^2 u^3 v^4 w x^2 + 4 a^2 b^4 c^2 u^3 v^4 w x^2 +
24 a^4 c^4 u^3 v^4 w x^2 - 8 a^2 b^2 c^4 u^3 v^4 w x^2 +
4 a^2 c^6 u^3 v^4 w x^2 + 4 a^6 b^2 u^4 v^2 w^2 x^2 -
8 a^4 b^4 u^4 v^2 w^2 x^2 + 4 a^2 b^6 u^4 v^2 w^2 x^2 +
4 a^6 c^2 u^4 v^2 w^2 x^2 - 48 a^4 b^2 c^2 u^4 v^2 w^2 x^2 +
44 a^2 b^4 c^2 u^4 v^2 w^2 x^2 - 8 a^4 c^4 u^4 v^2 w^2 x^2 +
44 a^2 b^2 c^4 u^4 v^2 w^2 x^2 + 4 a^2 c^6 u^4 v^2 w^2 x^2 +
4 a^8 u^3 v^3 w^2 x^2 - 4 a^6 b^2 u^3 v^3 w^2 x^2 -
4 a^4 b^4 u^3 v^3 w^2 x^2 + 4 a^2 b^6 u^3 v^3 w^2 x^2 -
32 a^6 c^2 u^3 v^3 w^2 x^2 + 32 a^4 b^2 c^2 u^3 v^3 w^2 x^2 +
20 a^4 c^4 u^3 v^3 w^2 x^2 - 12 a^2 b^2 c^4 u^3 v^3 w^2 x^2 +
8 a^2 c^6 u^3 v^3 w^2 x^2 + 4 a^8 u^2 v^4 w^2 x^2 -
8 a^6 b^2 u^2 v^4 w^2 x^2 + 4 a^4 b^4 u^2 v^4 w^2 x^2 +
8 a^6 c^2 u^2 v^4 w^2 x^2 - 8 a^4 b^2 c^2 u^2 v^4 w^2 x^2 +
4 a^4 c^4 u^2 v^4 w^2 x^2 + 4 a^6 b^2 u^4 v w^3 x^2 -
24 a^4 b^4 u^4 v w^3 x^2 + 20 a^2 b^6 u^4 v w^3 x^2 -
8 a^4 b^2 c^2 u^4 v w^3 x^2 + 40 a^2 b^4 c^2 u^4 v w^3 x^2 +
4 a^2 b^2 c^4 u^4 v w^3 x^2 + 4 a^8 u^3 v^2 w^3 x^2 -
32 a^6 b^2 u^3 v^2 w^3 x^2 + 20 a^4 b^4 u^3 v^2 w^3 x^2 +
8 a^2 b^6 u^3 v^2 w^3 x^2 - 4 a^6 c^2 u^3 v^2 w^3 x^2 +
32 a^4 b^2 c^2 u^3 v^2 w^3 x^2 - 12 a^2 b^4 c^2 u^3 v^2 w^3 x^2 -
4 a^4 c^4 u^3 v^2 w^3 x^2 + 4 a^2 c^6 u^3 v^2 w^3 x^2 -
8 a^8 u^2 v^3 w^3 x^2 + 8 a^4 b^4 u^2 v^3 w^3 x^2 -
16 a^4 b^2 c^2 u^2 v^3 w^3 x^2 + 8 a^4 c^4 u^2 v^3 w^3 x^2 +
16 a^2 b^6 u^4 w^4 x^2 + 4 a^6 b^2 u^3 v w^4 x^2 +
24 a^4 b^4 u^3 v w^4 x^2 + 4 a^2 b^6 u^3 v w^4 x^2 -
8 a^4 b^2 c^2 u^3 v w^4 x^2 - 8 a^2 b^4 c^2 u^3 v w^4 x^2 +
4 a^2 b^2 c^4 u^3 v w^4 x^2 + 4 a^8 u^2 v^2 w^4 x^2 +
8 a^6 b^2 u^2 v^2 w^4 x^2 + 4 a^4 b^4 u^2 v^2 w^4 x^2 -
8 a^6 c^2 u^2 v^2 w^4 x^2 - 8 a^4 b^2 c^2 u^2 v^2 w^4 x^2 +
4 a^4 c^4 u^2 v^2 w^4 x^2 + 16 a^2 c^6 u^4 v^4 x y +
16 b^2 c^6 u^4 v^4 x y - 16 c^8 u^4 v^4 x y +
4 a^6 c^2 u^4 v^3 w x y - 4 a^4 b^2 c^2 u^4 v^3 w x y -
4 a^2 b^4 c^2 u^4 v^3 w x y + 4 b^6 c^2 u^4 v^3 w x y -
16 a^4 c^4 u^4 v^3 w x y + 16 a^2 b^2 c^4 u^4 v^3 w x y +
32 b^4 c^4 u^4 v^3 w x y + 20 a^2 c^6 u^4 v^3 w x y -
28 b^2 c^6 u^4 v^3 w x y - 8 c^8 u^4 v^3 w x y +
4 a^6 c^2 u^3 v^4 w x y - 4 a^4 b^2 c^2 u^3 v^4 w x y -
4 a^2 b^4 c^2 u^3 v^4 w x y + 4 b^6 c^2 u^3 v^4 w x y +
32 a^4 c^4 u^3 v^4 w x y + 16 a^2 b^2 c^4 u^3 v^4 w x y -
16 b^4 c^4 u^3 v^4 w x y - 28 a^2 c^6 u^3 v^4 w x y +
20 b^2 c^6 u^3 v^4 w x y - 8 c^8 u^3 v^4 w x y -
a^8 u^4 v^2 w^2 x y + 8 a^6 b^2 u^4 v^2 w^2 x y -
10 a^4 b^4 u^4 v^2 w^2 x y + 3 b^8 u^4 v^2 w^2 x y +
4 a^6 c^2 u^4 v^2 w^2 x y - 24 a^4 b^2 c^2 u^4 v^2 w^2 x y -
12 a^2 b^4 c^2 u^4 v^2 w^2 x y + 32 b^6 c^2 u^4 v^2 w^2 x y -
6 a^4 c^4 u^4 v^2 w^2 x y + 24 a^2 b^2 c^4 u^4 v^2 w^2 x y -
26 b^4 c^4 u^4 v^2 w^2 x y + 4 a^2 c^6 u^4 v^2 w^2 x y -
8 b^2 c^6 u^4 v^2 w^2 x y - c^8 u^4 v^2 w^2 x y +
2 a^8 u^3 v^3 w^2 x y + 8 a^6 b^2 u^3 v^3 w^2 x y -
20 a^4 b^4 u^3 v^3 w^2 x y + 8 a^2 b^6 u^3 v^3 w^2 x y +
2 b^8 u^3 v^3 w^2 x y - 8 a^6 c^2 u^3 v^3 w^2 x y +
8 a^4 b^2 c^2 u^3 v^3 w^2 x y + 8 a^2 b^4 c^2 u^3 v^3 w^2 x y -
8 b^6 c^2 u^3 v^3 w^2 x y - 80 a^2 b^2 c^4 u^3 v^3 w^2 x y +
16 a^2 c^6 u^3 v^3 w^2 x y + 16 b^2 c^6 u^3 v^3 w^2 x y -
10 c^8 u^3 v^3 w^2 x y + 3 a^8 u^2 v^4 w^2 x y -
10 a^4 b^4 u^2 v^4 w^2 x y + 8 a^2 b^6 u^2 v^4 w^2 x y -
b^8 u^2 v^4 w^2 x y + 32 a^6 c^2 u^2 v^4 w^2 x y -
12 a^4 b^2 c^2 u^2 v^4 w^2 x y - 24 a^2 b^4 c^2 u^2 v^4 w^2 x y +
4 b^6 c^2 u^2 v^4 w^2 x y - 26 a^4 c^4 u^2 v^4 w^2 x y +
24 a^2 b^2 c^4 u^2 v^4 w^2 x y - 6 b^4 c^4 u^2 v^4 w^2 x y -
8 a^2 c^6 u^2 v^4 w^2 x y + 4 b^2 c^6 u^2 v^4 w^2 x y -
c^8 u^2 v^4 w^2 x y - 4 a^4 b^4 u^4 v w^3 x y -
8 a^2 b^6 u^4 v w^3 x y + 12 b^8 u^4 v w^3 x y +
8 a^2 b^4 c^2 u^4 v w^3 x y - 8 b^6 c^2 u^4 v w^3 x y -
4 b^4 c^4 u^4 v w^3 x y - 2 a^8 u^3 v^2 w^3 x y +
4 a^6 b^2 u^3 v^2 w^3 x y - 20 a^4 b^4 u^3 v^2 w^3 x y +
20 a^2 b^6 u^3 v^2 w^3 x y - 2 b^8 u^3 v^2 w^3 x y +
8 a^6 c^2 u^3 v^2 w^3 x y - 12 a^4 b^2 c^2 u^3 v^2 w^3 x y -
88 a^2 b^4 c^2 u^3 v^2 w^3 x y - 4 b^6 c^2 u^3 v^2 w^3 x y -
12 a^4 c^4 u^3 v^2 w^3 x y + 12 a^2 b^2 c^4 u^3 v^2 w^3 x y +
12 b^4 c^4 u^3 v^2 w^3 x y + 8 a^2 c^6 u^3 v^2 w^3 x y -
4 b^2 c^6 u^3 v^2 w^3 x y - 2 c^8 u^3 v^2 w^3 x y -
2 a^8 u^2 v^3 w^3 x y + 20 a^6 b^2 u^2 v^3 w^3 x y -
20 a^4 b^4 u^2 v^3 w^3 x y + 4 a^2 b^6 u^2 v^3 w^3 x y -
2 b^8 u^2 v^3 w^3 x y - 4 a^6 c^2 u^2 v^3 w^3 x y -
88 a^4 b^2 c^2 u^2 v^3 w^3 x y - 12 a^2 b^4 c^2 u^2 v^3 w^3 x y +
8 b^6 c^2 u^2 v^3 w^3 x y + 12 a^4 c^4 u^2 v^3 w^3 x y +
12 a^2 b^2 c^4 u^2 v^3 w^3 x y - 12 b^4 c^4 u^2 v^3 w^3 x y -
4 a^2 c^6 u^2 v^3 w^3 x y + 8 b^2 c^6 u^2 v^3 w^3 x y -
2 c^8 u^2 v^3 w^3 x y + 12 a^8 u v^4 w^3 x y -
8 a^6 b^2 u v^4 w^3 x y - 4 a^4 b^4 u v^4 w^3 x y -
8 a^6 c^2 u v^4 w^3 x y + 8 a^4 b^2 c^2 u v^4 w^3 x y -
4 a^4 c^4 u v^4 w^3 x y - 4 a^4 b^4 u^3 v w^4 x y -
24 a^2 b^6 u^3 v w^4 x y - 4 b^8 u^3 v w^4 x y +
8 a^2 b^4 c^2 u^3 v w^4 x y + 8 b^6 c^2 u^3 v w^4 x y -
4 b^4 c^4 u^3 v w^4 x y - a^8 u^2 v^2 w^4 x y -
4 a^6 b^2 u^2 v^2 w^4 x y - 54 a^4 b^4 u^2 v^2 w^4 x y -
4 a^2 b^6 u^2 v^2 w^4 x y - b^8 u^2 v^2 w^4 x y +
4 a^6 c^2 u^2 v^2 w^4 x y + 12 a^4 b^2 c^2 u^2 v^2 w^4 x y +
12 a^2 b^4 c^2 u^2 v^2 w^4 x y + 4 b^6 c^2 u^2 v^2 w^4 x y -
6 a^4 c^4 u^2 v^2 w^4 x y - 12 a^2 b^2 c^4 u^2 v^2 w^4 x y -
6 b^4 c^4 u^2 v^2 w^4 x y + 4 a^2 c^6 u^2 v^2 w^4 x y +
4 b^2 c^6 u^2 v^2 w^4 x y - c^8 u^2 v^2 w^4 x y -
4 a^8 u v^3 w^4 x y - 24 a^6 b^2 u v^3 w^4 x y -
4 a^4 b^4 u v^3 w^4 x y + 8 a^6 c^2 u v^3 w^4 x y +
8 a^4 b^2 c^2 u v^3 w^4 x y - 4 a^4 c^4 u v^3 w^4 x y +
16 b^2 c^6 u^4 v^4 y^2 + 4 a^4 b^2 c^2 u^4 v^3 w y^2 -
8 a^2 b^4 c^2 u^4 v^3 w y^2 + 4 b^6 c^2 u^4 v^3 w y^2 -
8 a^2 b^2 c^4 u^4 v^3 w y^2 + 24 b^4 c^4 u^4 v^3 w y^2 +
4 b^2 c^6 u^4 v^3 w y^2 + 4 a^4 b^2 c^2 u^3 v^4 w y^2 -
8 a^2 b^4 c^2 u^3 v^4 w y^2 + 4 b^6 c^2 u^3 v^4 w y^2 +
40 a^2 b^2 c^4 u^3 v^4 w y^2 - 24 b^4 c^4 u^3 v^4 w y^2 +
20 b^2 c^6 u^3 v^4 w y^2 + 4 a^4 b^4 u^4 v^2 w^2 y^2 -
8 a^2 b^6 u^4 v^2 w^2 y^2 + 4 b^8 u^4 v^2 w^2 y^2 -
8 a^2 b^4 c^2 u^4 v^2 w^2 y^2 + 8 b^6 c^2 u^4 v^2 w^2 y^2 +
4 b^4 c^4 u^4 v^2 w^2 y^2 + 4 a^6 b^2 u^3 v^3 w^2 y^2 -
4 a^4 b^4 u^3 v^3 w^2 y^2 - 4 a^2 b^6 u^3 v^3 w^2 y^2 +
4 b^8 u^3 v^3 w^2 y^2 + 32 a^2 b^4 c^2 u^3 v^3 w^2 y^2 -
32 b^6 c^2 u^3 v^3 w^2 y^2 - 12 a^2 b^2 c^4 u^3 v^3 w^2 y^2 +
20 b^4 c^4 u^3 v^3 w^2 y^2 + 8 b^2 c^6 u^3 v^3 w^2 y^2 +
4 a^6 b^2 u^2 v^4 w^2 y^2 - 8 a^4 b^4 u^2 v^4 w^2 y^2 +
4 a^2 b^6 u^2 v^4 w^2 y^2 + 44 a^4 b^2 c^2 u^2 v^4 w^2 y^2 -
48 a^2 b^4 c^2 u^2 v^4 w^2 y^2 + 4 b^6 c^2 u^2 v^4 w^2 y^2 +
44 a^2 b^2 c^4 u^2 v^4 w^2 y^2 - 8 b^4 c^4 u^2 v^4 w^2 y^2 +
4 b^2 c^6 u^2 v^4 w^2 y^2 + 8 a^4 b^4 u^3 v^2 w^3 y^2 -
8 b^8 u^3 v^2 w^3 y^2 - 16 a^2 b^4 c^2 u^3 v^2 w^3 y^2 +
8 b^4 c^4 u^3 v^2 w^3 y^2 + 8 a^6 b^2 u^2 v^3 w^3 y^2 +
20 a^4 b^4 u^2 v^3 w^3 y^2 - 32 a^2 b^6 u^2 v^3 w^3 y^2 +
4 b^8 u^2 v^3 w^3 y^2 - 12 a^4 b^2 c^2 u^2 v^3 w^3 y^2 +
32 a^2 b^4 c^2 u^2 v^3 w^3 y^2 - 4 b^6 c^2 u^2 v^3 w^3 y^2 -
4 b^4 c^4 u^2 v^3 w^3 y^2 + 4 b^2 c^6 u^2 v^3 w^3 y^2 +
20 a^6 b^2 u v^4 w^3 y^2 - 24 a^4 b^4 u v^4 w^3 y^2 +
4 a^2 b^6 u v^4 w^3 y^2 + 40 a^4 b^2 c^2 u v^4 w^3 y^2 -
8 a^2 b^4 c^2 u v^4 w^3 y^2 + 4 a^2 b^2 c^4 u v^4 w^3 y^2 +
4 a^4 b^4 u^2 v^2 w^4 y^2 + 8 a^2 b^6 u^2 v^2 w^4 y^2 +
4 b^8 u^2 v^2 w^4 y^2 - 8 a^2 b^4 c^2 u^2 v^2 w^4 y^2 -
8 b^6 c^2 u^2 v^2 w^4 y^2 + 4 b^4 c^4 u^2 v^2 w^4 y^2 +
4 a^6 b^2 u v^3 w^4 y^2 + 24 a^4 b^4 u v^3 w^4 y^2 +
4 a^2 b^6 u v^3 w^4 y^2 - 8 a^4 b^2 c^2 u v^3 w^4 y^2 -
8 a^2 b^4 c^2 u v^3 w^4 y^2 + 4 a^2 b^2 c^4 u v^3 w^4 y^2 +
16 a^6 b^2 v^4 w^4 y^2 - 4 a^4 c^4 u^4 v^3 w x z +
8 a^2 b^2 c^4 u^4 v^3 w x z - 4 b^4 c^4 u^4 v^3 w x z -
8 a^2 c^6 u^4 v^3 w x z - 8 b^2 c^6 u^4 v^3 w x z +
12 c^8 u^4 v^3 w x z - 4 a^4 c^4 u^3 v^4 w x z +
8 a^2 b^2 c^4 u^3 v^4 w x z - 4 b^4 c^4 u^3 v^4 w x z -
24 a^2 c^6 u^3 v^4 w x z + 8 b^2 c^6 u^3 v^4 w x z -
4 c^8 u^3 v^4 w x z - a^8 u^4 v^2 w^2 x z +
4 a^6 b^2 u^4 v^2 w^2 x z - 6 a^4 b^4 u^4 v^2 w^2 x z +
4 a^2 b^6 u^4 v^2 w^2 x z - b^8 u^4 v^2 w^2 x z +
8 a^6 c^2 u^4 v^2 w^2 x z - 24 a^4 b^2 c^2 u^4 v^2 w^2 x z +
24 a^2 b^4 c^2 u^4 v^2 w^2 x z - 8 b^6 c^2 u^4 v^2 w^2 x z -
10 a^4 c^4 u^4 v^2 w^2 x z - 12 a^2 b^2 c^4 u^4 v^2 w^2 x z -
26 b^4 c^4 u^4 v^2 w^2 x z + 32 b^2 c^6 u^4 v^2 w^2 x z +
3 c^8 u^4 v^2 w^2 x z - 2 a^8 u^3 v^3 w^2 x z +
8 a^6 b^2 u^3 v^3 w^2 x z - 12 a^4 b^4 u^3 v^3 w^2 x z +
8 a^2 b^6 u^3 v^3 w^2 x z - 2 b^8 u^3 v^3 w^2 x z +
4 a^6 c^2 u^3 v^3 w^2 x z - 12 a^4 b^2 c^2 u^3 v^3 w^2 x z +
12 a^2 b^4 c^2 u^3 v^3 w^2 x z - 4 b^6 c^2 u^3 v^3 w^2 x z -
20 a^4 c^4 u^3 v^3 w^2 x z - 88 a^2 b^2 c^4 u^3 v^3 w^2 x z +
12 b^4 c^4 u^3 v^3 w^2 x z + 20 a^2 c^6 u^3 v^3 w^2 x z -
4 b^2 c^6 u^3 v^3 w^2 x z - 2 c^8 u^3 v^3 w^2 x z -
a^8 u^2 v^4 w^2 x z + 4 a^6 b^2 u^2 v^4 w^2 x z -
6 a^4 b^4 u^2 v^4 w^2 x z + 4 a^2 b^6 u^2 v^4 w^2 x z -
b^8 u^2 v^4 w^2 x z - 4 a^6 c^2 u^2 v^4 w^2 x z +
12 a^4 b^2 c^2 u^2 v^4 w^2 x z - 12 a^2 b^4 c^2 u^2 v^4 w^2 x z +
4 b^6 c^2 u^2 v^4 w^2 x z - 54 a^4 c^4 u^2 v^4 w^2 x z +
12 a^2 b^2 c^4 u^2 v^4 w^2 x z - 6 b^4 c^4 u^2 v^4 w^2 x z -
4 a^2 c^6 u^2 v^4 w^2 x z + 4 b^2 c^6 u^2 v^4 w^2 x z -
c^8 u^2 v^4 w^2 x z + 4 a^6 b^2 u^4 v w^3 x z -
16 a^4 b^4 u^4 v w^3 x z + 20 a^2 b^6 u^4 v w^3 x z -
8 b^8 u^4 v w^3 x z - 4 a^4 b^2 c^2 u^4 v w^3 x z +
16 a^2 b^4 c^2 u^4 v w^3 x z - 28 b^6 c^2 u^4 v w^3 x z -
4 a^2 b^2 c^4 u^4 v w^3 x z + 32 b^4 c^4 u^4 v w^3 x z +
4 b^2 c^6 u^4 v w^3 x z + 2 a^8 u^3 v^2 w^3 x z -
8 a^6 b^2 u^3 v^2 w^3 x z + 16 a^2 b^6 u^3 v^2 w^3 x z -
10 b^8 u^3 v^2 w^3 x z + 8 a^6 c^2 u^3 v^2 w^3 x z +
8 a^4 b^2 c^2 u^3 v^2 w^3 x z - 80 a^2 b^4 c^2 u^3 v^2 w^3 x z +
16 b^6 c^2 u^3 v^2 w^3 x z - 20 a^4 c^4 u^3 v^2 w^3 x z +
8 a^2 b^2 c^4 u^3 v^2 w^3 x z + 8 a^2 c^6 u^3 v^2 w^3 x z -
8 b^2 c^6 u^3 v^2 w^3 x z + 2 c^8 u^3 v^2 w^3 x z -
2 a^8 u^2 v^3 w^3 x z - 4 a^6 b^2 u^2 v^3 w^3 x z +
12 a^4 b^4 u^2 v^3 w^3 x z - 4 a^2 b^6 u^2 v^3 w^3 x z -
2 b^8 u^2 v^3 w^3 x z + 20 a^6 c^2 u^2 v^3 w^3 x z -
88 a^4 b^2 c^2 u^2 v^3 w^3 x z + 12 a^2 b^4 c^2 u^2 v^3 w^3 x z +
8 b^6 c^2 u^2 v^3 w^3 x z - 20 a^4 c^4 u^2 v^3 w^3 x z -
12 a^2 b^2 c^4 u^2 v^3 w^3 x z - 12 b^4 c^4 u^2 v^3 w^3 x z +
4 a^2 c^6 u^2 v^3 w^3 x z + 8 b^2 c^6 u^2 v^3 w^3 x z -
2 c^8 u^2 v^3 w^3 x z - 4 a^8 u v^4 w^3 x z +
8 a^6 b^2 u v^4 w^3 x z - 4 a^4 b^4 u v^4 w^3 x z -
24 a^6 c^2 u v^4 w^3 x z + 8 a^4 b^2 c^2 u v^4 w^3 x z -
4 a^4 c^4 u v^4 w^3 x z + 16 a^2 b^6 u^4 w^4 x z -
16 b^8 u^4 w^4 x z + 16 b^6 c^2 u^4 w^4 x z +
4 a^6 b^2 u^3 v w^4 x z + 32 a^4 b^4 u^3 v w^4 x z -
28 a^2 b^6 u^3 v w^4 x z - 8 b^8 u^3 v w^4 x z -
4 a^4 b^2 c^2 u^3 v w^4 x z + 16 a^2 b^4 c^2 u^3 v w^4 x z +
20 b^6 c^2 u^3 v w^4 x z - 4 a^2 b^2 c^4 u^3 v w^4 x z -
16 b^4 c^4 u^3 v w^4 x z + 4 b^2 c^6 u^3 v w^4 x z +
3 a^8 u^2 v^2 w^4 x z + 32 a^6 b^2 u^2 v^2 w^4 x z -
26 a^4 b^4 u^2 v^2 w^4 x z - 8 a^2 b^6 u^2 v^2 w^4 x z -
b^8 u^2 v^2 w^4 x z - 12 a^4 b^2 c^2 u^2 v^2 w^4 x z +
24 a^2 b^4 c^2 u^2 v^2 w^4 x z + 4 b^6 c^2 u^2 v^2 w^4 x z -
10 a^4 c^4 u^2 v^2 w^4 x z - 24 a^2 b^2 c^4 u^2 v^2 w^4 x z -
6 b^4 c^4 u^2 v^2 w^4 x z + 8 a^2 c^6 u^2 v^2 w^4 x z +
4 b^2 c^6 u^2 v^2 w^4 x z - c^8 u^2 v^2 w^4 x z +
12 a^8 u v^3 w^4 x z - 8 a^6 b^2 u v^3 w^4 x z -
4 a^4 b^4 u v^3 w^4 x z - 8 a^6 c^2 u v^3 w^4 x z +
8 a^4 b^2 c^2 u v^3 w^4 x z - 4 a^4 c^4 u v^3 w^4 x z -
4 a^4 c^4 u^4 v^3 w y z + 8 a^2 b^2 c^4 u^4 v^3 w y z -
4 b^4 c^4 u^4 v^3 w y z + 8 a^2 c^6 u^4 v^3 w y z -
24 b^2 c^6 u^4 v^3 w y z - 4 c^8 u^4 v^3 w y z -
4 a^4 c^4 u^3 v^4 w y z + 8 a^2 b^2 c^4 u^3 v^4 w y z -
4 b^4 c^4 u^3 v^4 w y z - 8 a^2 c^6 u^3 v^4 w y z -
8 b^2 c^6 u^3 v^4 w y z + 12 c^8 u^3 v^4 w y z -
a^8 u^4 v^2 w^2 y z + 4 a^6 b^2 u^4 v^2 w^2 y z -
6 a^4 b^4 u^4 v^2 w^2 y z + 4 a^2 b^6 u^4 v^2 w^2 y z -
b^8 u^4 v^2 w^2 y z + 4 a^6 c^2 u^4 v^2 w^2 y z -
12 a^4 b^2 c^2 u^4 v^2 w^2 y z + 12 a^2 b^4 c^2 u^4 v^2 w^2 y z -
4 b^6 c^2 u^4 v^2 w^2 y z - 6 a^4 c^4 u^4 v^2 w^2 y z +
12 a^2 b^2 c^4 u^4 v^2 w^2 y z - 54 b^4 c^4 u^4 v^2 w^2 y z +
4 a^2 c^6 u^4 v^2 w^2 y z - 4 b^2 c^6 u^4 v^2 w^2 y z -
c^8 u^4 v^2 w^2 y z - 2 a^8 u^3 v^3 w^2 y z +
8 a^6 b^2 u^3 v^3 w^2 y z - 12 a^4 b^4 u^3 v^3 w^2 y z +
8 a^2 b^6 u^3 v^3 w^2 y z - 2 b^8 u^3 v^3 w^2 y z -
4 a^6 c^2 u^3 v^3 w^2 y z + 12 a^4 b^2 c^2 u^3 v^3 w^2 y z -
12 a^2 b^4 c^2 u^3 v^3 w^2 y z + 4 b^6 c^2 u^3 v^3 w^2 y z +
12 a^4 c^4 u^3 v^3 w^2 y z - 88 a^2 b^2 c^4 u^3 v^3 w^2 y z -
20 b^4 c^4 u^3 v^3 w^2 y z - 4 a^2 c^6 u^3 v^3 w^2 y z +
20 b^2 c^6 u^3 v^3 w^2 y z - 2 c^8 u^3 v^3 w^2 y z -
a^8 u^2 v^4 w^2 y z + 4 a^6 b^2 u^2 v^4 w^2 y z -
6 a^4 b^4 u^2 v^4 w^2 y z + 4 a^2 b^6 u^2 v^4 w^2 y z -
b^8 u^2 v^4 w^2 y z - 8 a^6 c^2 u^2 v^4 w^2 y z +
24 a^4 b^2 c^2 u^2 v^4 w^2 y z - 24 a^2 b^4 c^2 u^2 v^4 w^2 y z +
8 b^6 c^2 u^2 v^4 w^2 y z - 26 a^4 c^4 u^2 v^4 w^2 y z -
12 a^2 b^2 c^4 u^2 v^4 w^2 y z - 10 b^4 c^4 u^2 v^4 w^2 y z +
32 a^2 c^6 u^2 v^4 w^2 y z + 3 c^8 u^2 v^4 w^2 y z -
4 a^4 b^4 u^4 v w^3 y z + 8 a^2 b^6 u^4 v w^3 y z -
4 b^8 u^4 v w^3 y z + 8 a^2 b^4 c^2 u^4 v w^3 y z -
24 b^6 c^2 u^4 v w^3 y z - 4 b^4 c^4 u^4 v w^3 y z -
2 a^8 u^3 v^2 w^3 y z - 4 a^6 b^2 u^3 v^2 w^3 y z +
12 a^4 b^4 u^3 v^2 w^3 y z - 4 a^2 b^6 u^3 v^2 w^3 y z -
2 b^8 u^3 v^2 w^3 y z + 8 a^6 c^2 u^3 v^2 w^3 y z +
12 a^4 b^2 c^2 u^3 v^2 w^3 y z - 88 a^2 b^4 c^2 u^3 v^2 w^3 y z +
20 b^6 c^2 u^3 v^2 w^3 y z - 12 a^4 c^4 u^3 v^2 w^3 y z -
12 a^2 b^2 c^4 u^3 v^2 w^3 y z - 20 b^4 c^4 u^3 v^2 w^3 y z +
8 a^2 c^6 u^3 v^2 w^3 y z + 4 b^2 c^6 u^3 v^2 w^3 y z -
2 c^8 u^3 v^2 w^3 y z - 10 a^8 u^2 v^3 w^3 y z +
16 a^6 b^2 u^2 v^3 w^3 y z - 8 a^2 b^6 u^2 v^3 w^3 y z +
2 b^8 u^2 v^3 w^3 y z + 16 a^6 c^2 u^2 v^3 w^3 y z -
80 a^4 b^2 c^2 u^2 v^3 w^3 y z + 8 a^2 b^4 c^2 u^2 v^3 w^3 y z +
8 b^6 c^2 u^2 v^3 w^3 y z + 8 a^2 b^2 c^4 u^2 v^3 w^3 y z -
20 b^4 c^4 u^2 v^3 w^3 y z - 8 a^2 c^6 u^2 v^3 w^3 y z +
8 b^2 c^6 u^2 v^3 w^3 y z + 2 c^8 u^2 v^3 w^3 y z -
8 a^8 u v^4 w^3 y z + 20 a^6 b^2 u v^4 w^3 y z -
16 a^4 b^4 u v^4 w^3 y z + 4 a^2 b^6 u v^4 w^3 y z -
28 a^6 c^2 u v^4 w^3 y z + 16 a^4 b^2 c^2 u v^4 w^3 y z -
4 a^2 b^4 c^2 u v^4 w^3 y z + 32 a^4 c^4 u v^4 w^3 y z -
4 a^2 b^2 c^4 u v^4 w^3 y z + 4 a^2 c^6 u v^4 w^3 y z -
4 a^4 b^4 u^3 v w^4 y z - 8 a^2 b^6 u^3 v w^4 y z +
12 b^8 u^3 v w^4 y z + 8 a^2 b^4 c^2 u^3 v w^4 y z -
8 b^6 c^2 u^3 v w^4 y z - 4 b^4 c^4 u^3 v w^4 y z -
a^8 u^2 v^2 w^4 y z - 8 a^6 b^2 u^2 v^2 w^4 y z -
26 a^4 b^4 u^2 v^2 w^4 y z + 32 a^2 b^6 u^2 v^2 w^4 y z +
3 b^8 u^2 v^2 w^4 y z + 4 a^6 c^2 u^2 v^2 w^4 y z +
24 a^4 b^2 c^2 u^2 v^2 w^4 y z - 12 a^2 b^4 c^2 u^2 v^2 w^4 y z -
6 a^4 c^4 u^2 v^2 w^4 y z - 24 a^2 b^2 c^4 u^2 v^2 w^4 y z -
10 b^4 c^4 u^2 v^2 w^4 y z + 4 a^2 c^6 u^2 v^2 w^4 y z +
8 b^2 c^6 u^2 v^2 w^4 y z - c^8 u^2 v^2 w^4 y z -
8 a^8 u v^3 w^4 y z - 28 a^6 b^2 u v^3 w^4 y z +
32 a^4 b^4 u v^3 w^4 y z + 4 a^2 b^6 u v^3 w^4 y z +
20 a^6 c^2 u v^3 w^4 y z + 16 a^4 b^2 c^2 u v^3 w^4 y z -
4 a^2 b^4 c^2 u v^3 w^4 y z - 16 a^4 c^4 u v^3 w^4 y z -
4 a^2 b^2 c^4 u v^3 w^4 y z + 4 a^2 c^6 u v^3 w^4 y z -
16 a^8 v^4 w^4 y z + 16 a^6 b^2 v^4 w^4 y z +
16 a^6 c^2 v^4 w^4 y z + 4 a^4 c^4 u^4 v^2 w^2 z^2 -
8 a^2 b^2 c^4 u^4 v^2 w^2 z^2 + 4 b^4 c^4 u^4 v^2 w^2 z^2 -
8 a^2 c^6 u^4 v^2 w^2 z^2 + 8 b^2 c^6 u^4 v^2 w^2 z^2 +
4 c^8 u^4 v^2 w^2 z^2 + 8 a^4 c^4 u^3 v^3 w^2 z^2 -
16 a^2 b^2 c^4 u^3 v^3 w^2 z^2 + 8 b^4 c^4 u^3 v^3 w^2 z^2 -
8 c^8 u^3 v^3 w^2 z^2 + 4 a^4 c^4 u^2 v^4 w^2 z^2 -
8 a^2 b^2 c^4 u^2 v^4 w^2 z^2 + 4 b^4 c^4 u^2 v^4 w^2 z^2 +
8 a^2 c^6 u^2 v^4 w^2 z^2 - 8 b^2 c^6 u^2 v^4 w^2 z^2 +
4 c^8 u^2 v^4 w^2 z^2 + 4 a^4 b^2 c^2 u^4 v w^3 z^2 -
8 a^2 b^4 c^2 u^4 v w^3 z^2 + 4 b^6 c^2 u^4 v w^3 z^2 -
8 a^2 b^2 c^4 u^4 v w^3 z^2 + 24 b^4 c^4 u^4 v w^3 z^2 +
4 b^2 c^6 u^4 v w^3 z^2 + 4 a^6 c^2 u^3 v^2 w^3 z^2 -
12 a^2 b^4 c^2 u^3 v^2 w^3 z^2 + 8 b^6 c^2 u^3 v^2 w^3 z^2 -
4 a^4 c^4 u^3 v^2 w^3 z^2 + 32 a^2 b^2 c^4 u^3 v^2 w^3 z^2 +
20 b^4 c^4 u^3 v^2 w^3 z^2 - 4 a^2 c^6 u^3 v^2 w^3 z^2 -
32 b^2 c^6 u^3 v^2 w^3 z^2 + 4 c^8 u^3 v^2 w^3 z^2 +
8 a^6 c^2 u^2 v^3 w^3 z^2 - 12 a^4 b^2 c^2 u^2 v^3 w^3 z^2 +
4 b^6 c^2 u^2 v^3 w^3 z^2 + 20 a^4 c^4 u^2 v^3 w^3 z^2 +
32 a^2 b^2 c^4 u^2 v^3 w^3 z^2 - 4 b^4 c^4 u^2 v^3 w^3 z^2 -
32 a^2 c^6 u^2 v^3 w^3 z^2 - 4 b^2 c^6 u^2 v^3 w^3 z^2 +
4 c^8 u^2 v^3 w^3 z^2 + 4 a^6 c^2 u v^4 w^3 z^2 -
8 a^4 b^2 c^2 u v^4 w^3 z^2 + 4 a^2 b^4 c^2 u v^4 w^3 z^2 +
24 a^4 c^4 u v^4 w^3 z^2 - 8 a^2 b^2 c^4 u v^4 w^3 z^2 +
4 a^2 c^6 u v^4 w^3 z^2 + 16 b^6 c^2 u^4 w^4 z^2 +
4 a^4 b^2 c^2 u^3 v w^4 z^2 + 40 a^2 b^4 c^2 u^3 v w^4 z^2 +
20 b^6 c^2 u^3 v w^4 z^2 - 8 a^2 b^2 c^4 u^3 v w^4 z^2 -
24 b^4 c^4 u^3 v w^4 z^2 + 4 b^2 c^6 u^3 v w^4 z^2 +
4 a^6 c^2 u^2 v^2 w^4 z^2 + 44 a^4 b^2 c^2 u^2 v^2 w^4 z^2 +
44 a^2 b^4 c^2 u^2 v^2 w^4 z^2 + 4 b^6 c^2 u^2 v^2 w^4 z^2 -
8 a^4 c^4 u^2 v^2 w^4 z^2 - 48 a^2 b^2 c^4 u^2 v^2 w^4 z^2 -
8 b^4 c^4 u^2 v^2 w^4 z^2 + 4 a^2 c^6 u^2 v^2 w^4 z^2 +
4 b^2 c^6 u^2 v^2 w^4 z^2 + 20 a^6 c^2 u v^3 w^4 z^2 +
40 a^4 b^2 c^2 u v^3 w^4 z^2 + 4 a^2 b^4 c^2 u v^3 w^4 z^2 -
24 a^4 c^4 u v^3 w^4 z^2 - 8 a^2 b^2 c^4 u v^3 w^4 z^2 +
4 a^2 c^6 u v^3 w^4 z^2 + 16 a^6 c^2 v^4 w^4 z^2 = 0.

[Note: A1B1C1 is A'B'C' and A2B2C2 is A"B"C" in the problem]

Francisco Javier García Capitán
7 December 2011