Parallel Lines

Let ABC be a triangle and L a line.

Denote:
L1,L2,L3 := the reflections of AI, BI, CI in L, resp.
M1,M2,M3 := the reflections of AH, BH, CH in L1, L2, L3, resp

Point of concurrence of M1,M2,M3 ?

Special Cases: L = OH or OI or OK lines

APH, 11 December 2011

Generalization 1
Generalization 2

********************************************

I think that my calculations are right, no interesting point in any case.

OH:

{-a^14 b^2 + 5 a^12 b^4 - 10 a^10 b^6 + 10 a^8 b^8 - 5 a^6 b^10 +
a^4 b^12 - a^14 c^2 - 2 a^12 b^2 c^2 + 4 a^10 b^4 c^2 +
6 a^8 b^6 c^2 - 8 a^6 b^8 c^2 - a^4 b^10 c^2 + a^2 b^12 c^2 +
b^14 c^2 + 5 a^12 c^4 + 4 a^10 b^2 c^4 - 24 a^8 b^4 c^4 +
12 a^6 b^6 c^4 + 12 a^4 b^8 c^4 - 3 a^2 b^10 c^4 - 6 b^12 c^4 -
10 a^10 c^6 + 6 a^8 b^2 c^6 + 12 a^6 b^4 c^6 - 24 a^4 b^6 c^6 +
2 a^2 b^8 c^6 + 15 b^10 c^6 + 10 a^8 c^8 - 8 a^6 b^2 c^8 +
12 a^4 b^4 c^8 + 2 a^2 b^6 c^8 - 20 b^8 c^8 - 5 a^6 c^10 -
a^4 b^2 c^10 - 3 a^2 b^4 c^10 + 15 b^6 c^10 + a^4 c^12 +
a^2 b^2 c^12 - 6 b^4 c^12 + b^2 c^14,
a^12 b^4 - 5 a^10 b^6 + 10 a^8 b^8 - 10 a^6 b^10 + 5 a^4 b^12 -
a^2 b^14 + a^14 c^2 + a^12 b^2 c^2 - a^10 b^4 c^2 - 8 a^8 b^6 c^2 +
6 a^6 b^8 c^2 + 4 a^4 b^10 c^2 - 2 a^2 b^12 c^2 - b^14 c^2 -
6 a^12 c^4 - 3 a^10 b^2 c^4 + 12 a^8 b^4 c^4 + 12 a^6 b^6 c^4 -
24 a^4 b^8 c^4 + 4 a^2 b^10 c^4 + 5 b^12 c^4 + 15 a^10 c^6 +
2 a^8 b^2 c^6 - 24 a^6 b^4 c^6 + 12 a^4 b^6 c^6 + 6 a^2 b^8 c^6 -
10 b^10 c^6 - 20 a^8 c^8 + 2 a^6 b^2 c^8 + 12 a^4 b^4 c^8 -
8 a^2 b^6 c^8 + 10 b^8 c^8 + 15 a^6 c^10 - 3 a^4 b^2 c^10 -
a^2 b^4 c^10 - 5 b^6 c^10 - 6 a^4 c^12 + a^2 b^2 c^12 + b^4 c^12 +
a^2 c^14,
a^14 b^2 - 6 a^12 b^4 + 15 a^10 b^6 - 20 a^8 b^8 + 15 a^6 b^10 -
6 a^4 b^12 + a^2 b^14 + a^12 b^2 c^2 - 3 a^10 b^4 c^2 +
2 a^8 b^6 c^2 + 2 a^6 b^8 c^2 - 3 a^4 b^10 c^2 + a^2 b^12 c^2 +
a^12 c^4 - a^10 b^2 c^4 + 12 a^8 b^4 c^4 - 24 a^6 b^6 c^4 +
12 a^4 b^8 c^4 - a^2 b^10 c^4 + b^12 c^4 - 5 a^10 c^6 -
8 a^8 b^2 c^6 + 12 a^6 b^4 c^6 + 12 a^4 b^6 c^6 - 8 a^2 b^8 c^6 -
5 b^10 c^6 + 10 a^8 c^8 + 6 a^6 b^2 c^8 - 24 a^4 b^4 c^8 +
6 a^2 b^6 c^8 + 10 b^8 c^8 - 10 a^6 c^10 + 4 a^4 b^2 c^10 +
4 a^2 b^4 c^10 - 10 b^6 c^10 + 5 a^4 c^12 - 2 a^2 b^2 c^12 +
5 b^4 c^12 - a^2 c^14 - b^2 c^14}


OI:


{a^2 (a^10 b^6 - 3 a^8 b^8 + 3 a^6 b^10 - a^4 b^12 - a^8 b^6 c^2 -
a^6 b^8 c^2 + 2 a^4 b^10 c^2 + 4 a^6 b^6 c^4 - 5 a^4 b^8 c^4 +
a^10 c^6 - a^8 b^2 c^6 + 4 a^6 b^4 c^6 + a^2 b^8 c^6 - b^10 c^6 -
3 a^8 c^8 - a^6 b^2 c^8 - 5 a^4 b^4 c^8 + a^2 b^6 c^8 +
2 b^8 c^8 + 3 a^6 c^10 + 2 a^4 b^2 c^10 - b^6 c^10 - a^4 c^12),
b^2 (-a^12 b^4 + 3 a^10 b^6 - 3 a^8 b^8 + a^6 b^10 + 2 a^10 b^4 c^2 -
a^8 b^6 c^2 - a^6 b^8 c^2 - 5 a^8 b^4 c^4 + 4 a^6 b^6 c^4 -
a^10 c^6 + a^8 b^2 c^6 + 4 a^4 b^6 c^6 - a^2 b^8 c^6 + b^10 c^6 +
2 a^8 c^8 + a^6 b^2 c^8 - 5 a^4 b^4 c^8 - a^2 b^6 c^8 -
3 b^8 c^8 - a^6 c^10 + 2 a^2 b^4 c^10 + 3 b^6 c^10 - b^4 c^12),
c^2 (-a^10 b^6 + 2 a^8 b^8 - a^6 b^10 + a^8 b^6 c^2 + a^6 b^8 c^2 -
a^12 c^4 + 2 a^10 b^2 c^4 - 5 a^8 b^4 c^4 - 5 a^4 b^8 c^4 +
2 a^2 b^10 c^4 - b^12 c^4 + 3 a^10 c^6 - a^8 b^2 c^6 +
4 a^6 b^4 c^6 + 4 a^4 b^6 c^6 - a^2 b^8 c^6 + 3 b^10 c^6 -
3 a^8 c^8 - a^6 b^2 c^8 - a^2 b^6 c^8 - 3 b^8 c^8 + a^6 c^10 +
b^6 c^10)}

OK:

{a^2 (a^10 b^6 - 3 a^8 b^8 + 3 a^6 b^10 - a^4 b^12 - a^8 b^6 c^2 -
a^6 b^8 c^2 + 2 a^4 b^10 c^2 + 4 a^6 b^6 c^4 - 5 a^4 b^8 c^4 +
a^10 c^6 - a^8 b^2 c^6 + 4 a^6 b^4 c^6 + a^2 b^8 c^6 - b^10 c^6 -
3 a^8 c^8 - a^6 b^2 c^8 - 5 a^4 b^4 c^8 + a^2 b^6 c^8 +
2 b^8 c^8 + 3 a^6 c^10 + 2 a^4 b^2 c^10 - b^6 c^10 - a^4 c^12),
b^2 (-a^12 b^4 + 3 a^10 b^6 - 3 a^8 b^8 + a^6 b^10 + 2 a^10 b^4 c^2 -
a^8 b^6 c^2 - a^6 b^8 c^2 - 5 a^8 b^4 c^4 + 4 a^6 b^6 c^4 -
a^10 c^6 + a^8 b^2 c^6 + 4 a^4 b^6 c^6 - a^2 b^8 c^6 + b^10 c^6 +
2 a^8 c^8 + a^6 b^2 c^8 - 5 a^4 b^4 c^8 - a^2 b^6 c^8 -
3 b^8 c^8 - a^6 c^10 + 2 a^2 b^4 c^10 + 3 b^6 c^10 - b^4 c^12),
c^2 (-a^10 b^6 + 2 a^8 b^8 - a^6 b^10 + a^8 b^6 c^2 + a^6 b^8 c^2 -
a^12 c^4 + 2 a^10 b^2 c^4 - 5 a^8 b^4 c^4 - 5 a^4 b^8 c^4 +
2 a^2 b^10 c^4 - b^12 c^4 + 3 a^10 c^6 - a^8 b^2 c^6 +
4 a^6 b^4 c^6 + 4 a^4 b^6 c^6 - a^2 b^8 c^6 + 3 b^10 c^6 -
3 a^8 c^8 - a^6 b^2 c^8 - a^2 b^6 c^8 - 3 b^8 c^8 + a^6 c^10 +
b^6 c^10)}

The general point of intersection, for a line L = ux+vy+wz=0 is:

{-a^6 b^2 u^4 + a^4 b^4 u^4 - a^6 c^2 u^4 - 2 a^4 b^2 c^2 u^4 +
a^4 c^4 u^4 + 4 a^6 b^2 u^3 v - 4 a^4 b^4 u^3 v +
4 a^4 b^2 c^2 u^3 v - 6 a^6 b^2 u^2 v^2 + 6 a^4 b^4 u^2 v^2 +
6 a^4 b^2 c^2 u^2 v^2 + 4 a^6 b^2 u v^3 - 4 a^4 b^4 u v^3 -
8 a^4 b^2 c^2 u v^3 - 4 a^2 b^4 c^2 u v^3 + 4 a^2 b^2 c^4 u v^3 -
a^6 b^2 v^4 + a^4 b^4 v^4 + 3 a^4 b^2 c^2 v^4 + a^2 b^4 c^2 v^4 +
b^6 c^2 v^4 - 3 a^2 b^2 c^4 v^4 - 2 b^4 c^4 v^4 + b^2 c^6 v^4 +
4 a^6 c^2 u^3 w + 4 a^4 b^2 c^2 u^3 w - 4 a^4 c^4 u^3 w -
24 a^4 b^2 c^2 u^2 v w + 12 a^4 b^2 c^2 u v^2 w +
12 a^2 b^4 c^2 u v^2 w - 12 a^2 b^2 c^4 u v^2 w -
4 a^4 b^2 c^2 v^3 w - 4 b^6 c^2 v^3 w + 8 a^2 b^2 c^4 v^3 w +
8 b^4 c^4 v^3 w - 4 b^2 c^6 v^3 w - 6 a^6 c^2 u^2 w^2 +
6 a^4 b^2 c^2 u^2 w^2 + 6 a^4 c^4 u^2 w^2 +
12 a^4 b^2 c^2 u v w^2 - 12 a^2 b^4 c^2 u v w^2 +
12 a^2 b^2 c^4 u v w^2 - 6 a^2 b^4 c^2 v^2 w^2 +
6 b^6 c^2 v^2 w^2 - 6 a^2 b^2 c^4 v^2 w^2 - 12 b^4 c^4 v^2 w^2 +
6 b^2 c^6 v^2 w^2 + 4 a^6 c^2 u w^3 - 8 a^4 b^2 c^2 u w^3 +
4 a^2 b^4 c^2 u w^3 - 4 a^4 c^4 u w^3 - 4 a^2 b^2 c^4 u w^3 -
4 a^4 b^2 c^2 v w^3 + 8 a^2 b^4 c^2 v w^3 - 4 b^6 c^2 v w^3 +
8 b^4 c^4 v w^3 - 4 b^2 c^6 v w^3 - a^6 c^2 w^4 +
3 a^4 b^2 c^2 w^4 - 3 a^2 b^4 c^2 w^4 + b^6 c^2 w^4 + a^4 c^4 w^4 +
a^2 b^2 c^4 w^4 - 2 b^4 c^4 w^4 + b^2 c^6 w^4,
a^4 b^4 u^4 - a^2 b^6 u^4 + a^6 c^2 u^4 + a^4 b^2 c^2 u^4 +
3 a^2 b^4 c^2 u^4 - 2 a^4 c^4 u^4 - 3 a^2 b^2 c^4 u^4 +
a^2 c^6 u^4 - 4 a^4 b^4 u^3 v + 4 a^2 b^6 u^3 v -
4 a^4 b^2 c^2 u^3 v - 8 a^2 b^4 c^2 u^3 v + 4 a^2 b^2 c^4 u^3 v +
6 a^4 b^4 u^2 v^2 - 6 a^2 b^6 u^2 v^2 + 6 a^2 b^4 c^2 u^2 v^2 -
4 a^4 b^4 u v^3 + 4 a^2 b^6 u v^3 + 4 a^2 b^4 c^2 u v^3 +
a^4 b^4 v^4 - a^2 b^6 v^4 - 2 a^2 b^4 c^2 v^4 - b^6 c^2 v^4 +
b^4 c^4 v^4 - 4 a^6 c^2 u^3 w - 4 a^2 b^4 c^2 u^3 w +
8 a^4 c^4 u^3 w + 8 a^2 b^2 c^4 u^3 w - 4 a^2 c^6 u^3 w +
12 a^4 b^2 c^2 u^2 v w + 12 a^2 b^4 c^2 u^2 v w -
12 a^2 b^2 c^4 u^2 v w - 24 a^2 b^4 c^2 u v^2 w +
4 a^2 b^4 c^2 v^3 w + 4 b^6 c^2 v^3 w - 4 b^4 c^4 v^3 w +
6 a^6 c^2 u^2 w^2 - 6 a^4 b^2 c^2 u^2 w^2 - 12 a^4 c^4 u^2 w^2 -
6 a^2 b^2 c^4 u^2 w^2 + 6 a^2 c^6 u^2 w^2 -
12 a^4 b^2 c^2 u v w^2 + 12 a^2 b^4 c^2 u v w^2 +
12 a^2 b^2 c^4 u v w^2 + 6 a^2 b^4 c^2 v^2 w^2 -
6 b^6 c^2 v^2 w^2 + 6 b^4 c^4 v^2 w^2 - 4 a^6 c^2 u w^3 +
8 a^4 b^2 c^2 u w^3 - 4 a^2 b^4 c^2 u w^3 + 8 a^4 c^4 u w^3 -
4 a^2 c^6 u w^3 + 4 a^4 b^2 c^2 v w^3 - 8 a^2 b^4 c^2 v w^3 +
4 b^6 c^2 v w^3 - 4 a^2 b^2 c^4 v w^3 - 4 b^4 c^4 v w^3 +
a^6 c^2 w^4 - 3 a^4 b^2 c^2 w^4 + 3 a^2 b^4 c^2 w^4 - b^6 c^2 w^4 -
2 a^4 c^4 w^4 + a^2 b^2 c^4 w^4 + b^4 c^4 w^4 + a^2 c^6 w^4,
a^6 b^2 u^4 - 2 a^4 b^4 u^4 + a^2 b^6 u^4 + a^4 b^2 c^2 u^4 -
3 a^2 b^4 c^2 u^4 + a^4 c^4 u^4 + 3 a^2 b^2 c^4 u^4 - a^2 c^6 u^4 -
4 a^6 b^2 u^3 v + 8 a^4 b^4 u^3 v - 4 a^2 b^6 u^3 v +
8 a^2 b^4 c^2 u^3 v - 4 a^2 b^2 c^4 u^3 v + 6 a^6 b^2 u^2 v^2 -
12 a^4 b^4 u^2 v^2 + 6 a^2 b^6 u^2 v^2 - 6 a^4 b^2 c^2 u^2 v^2 -
6 a^2 b^4 c^2 u^2 v^2 - 4 a^6 b^2 u v^3 + 8 a^4 b^4 u v^3 -
4 a^2 b^6 u v^3 + 8 a^4 b^2 c^2 u v^3 - 4 a^2 b^2 c^4 u v^3 +
a^6 b^2 v^4 - 2 a^4 b^4 v^4 + a^2 b^6 v^4 - 3 a^4 b^2 c^2 v^4 +
a^2 b^4 c^2 v^4 + 3 a^2 b^2 c^4 v^4 + b^4 c^4 v^4 - b^2 c^6 v^4 -
4 a^4 b^2 c^2 u^3 w + 4 a^2 b^4 c^2 u^3 w - 4 a^4 c^4 u^3 w -
8 a^2 b^2 c^4 u^3 w + 4 a^2 c^6 u^3 w + 12 a^4 b^2 c^2 u^2 v w -
12 a^2 b^4 c^2 u^2 v w + 12 a^2 b^2 c^4 u^2 v w -
12 a^4 b^2 c^2 u v^2 w + 12 a^2 b^4 c^2 u v^2 w +
12 a^2 b^2 c^4 u v^2 w + 4 a^4 b^2 c^2 v^3 w -
4 a^2 b^4 c^2 v^3 w - 8 a^2 b^2 c^4 v^3 w - 4 b^4 c^4 v^3 w +
4 b^2 c^6 v^3 w + 6 a^4 c^4 u^2 w^2 + 6 a^2 b^2 c^4 u^2 w^2 -
6 a^2 c^6 u^2 w^2 - 24 a^2 b^2 c^4 u v w^2 +
6 a^2 b^2 c^4 v^2 w^2 + 6 b^4 c^4 v^2 w^2 - 6 b^2 c^6 v^2 w^2 -
4 a^4 c^4 u w^3 + 4 a^2 b^2 c^4 u w^3 + 4 a^2 c^6 u w^3 +
4 a^2 b^2 c^4 v w^3 - 4 b^4 c^4 v w^3 + 4 b^2 c^6 v w^3 +
a^4 c^4 w^4 - 2 a^2 b^2 c^4 w^4 + b^4 c^4 w^4 - a^2 c^6 w^4 -
b^2 c^6 w^4}

Francisco Javier García Capitán
12 December 2011