Ул. Дыдырка (Менск), Цыркулярныя крывыя 3־га парадку. Працы БДУ, 1932, №17-18. Г Л А В А IV. С.19-142.
(St. Didierka (Minsk), Circular curves of the 3rd order. Proceedings of BSU, 1932, #17-18. CHAPTER IV. P.19-142.)
R E S U M E .
Le present ouvrage a pour but d'etudier systematiquementles proprietes des courbes circulaires du 3-ieme degre.On у discute l’equation generale de la courbe circulaire eton у montre les methodes qui reduisent la dite equation enformes simples.Dans le premier chapitre sont etudiees les proprietes de cubiques circulaires au moyen de theoreme d’Ekhardt qui donneles proprietes de droites qui joignent les points d’intersectionde cubique avec le faisceau de cercles dont les centres son'situes aussi a la cubique.On profite ici des methodes de signifisalions abregees.On donne ensuite des methodes pour la construction descubiques circulaires au moyen de faisceaux projectifs de cereles et de droites.Dans cette partie du memoir sont considers en detail troisespeces de faisceaux de cercles et examines les problemes del’influence du caractere du faisceau de cercles a l’espece de lacubique obtenue.On a donne des figures detaillees pour chaque cas part[■culier.On discute la theorie de cubiques circulaires qui ont lepoint double en connexion avec le probleme de podaires.On demontre le theoreme nomme ״de Casey“: ״chaquecourbe circulaire est l’enveloppe de cercles bitangents dont lescentres sont situes sur les paraboles“.Ce theoreme est demontre par une methode purement analvtique employee par M. Darboux, et d’ou sont obtenues beaucoup de consequences: on enonce quatre series de cercles bitangents et on regoit de la doctrine precedenle des conclusionsde trois especes de points doubles de cubiques.Dans la plupart des cas nous avons donne les nouvellesdemonstrations de theoremes connus.Dans la 2-ieme chapitre est donnee la theorie generaled’inversion et est considers le role de cette theorie. pour lescubiques circulaires.139 -On demontre id en detail la theorie de foyers de cubiques,les theoremes de Hart et la theorie de transformations anallagmatiques. La derniere theorie est discutee tres en details avecbeaucoup d’exemples.Dans ce chapitre on montre aussi les proprietes de cubiqescirculaires liees avec les triangles autopolaires de poles d’inversion et avec le cercle des neuf points d’Euler.E11 conclusion est donnee la nouvelle demonstration du theoreme de Casey et applications du dit theoreme aux cubiques.La plupart de ces demonstrations est aussi donnee ici pour lapremiere fois.Le 3־ieme chapitre est consacre a l’etude de proprietesprojectives de cubiques. On montre ici le theoreme connu: lescubiques circulaires peuvent representer la perspective de toutesles cubiques et on discute les resultats de ce theoreme.Dans la conclusion de ce chapitre est donnee la nouvelledemonstration du theoreme connu de Salmon: ״le rapportanharmonique de quatre tangents de courbe du 3-ieme degreest constant“.On discute les cas particuliers de ce rapport en connexionavec les invariants de la forme biquadratique de M. Clebsch.Das le 4-ieme chapitre on discute les proprietes metriquesdes cubiques etudiees.Toute la matiere de ce chapitre est entierement nouvelle.Ce chapitre est le sommaire du memoire.On obtient ici cinq invariants orthogonaux independants decubiques circulaires et on en recoit les proprietes diverses deces cubiques.De ces cinq invariants, on en obtient quelques nouveaux,et on leur donne des formules canoniques.On discute aussi les faisceaux de cubiques ciculaires et onen obtient les conditions, d’apres lesquelles la cubique donniedegenere en un cercle et en une ligne droite, ou en troislignes droites.On donne ces conditions en forme de determinants du3-ieme degre.Au moyen d’invariants sont aussi donnes quelques theorerues qui discutent le probleme de cubiques particulieres (speciales) dans le faisceau de cubiques circulaires generales: lenombre de cubiques focales, de cubiques avec un point double,de courbes degenerees etc.Comme conclusion de ce chapitre est donnee la serie detheoremes relatifs aux lieux geometriques de foyers singuliersde cubiques du faisceau dont les centres sont dans les six— 140 —sommets du quadrilatere complet general et du quadrilateredont les cotes opposes sont perpendiculaires. Les derniers theoremes etaient donnes par Muller par les methodes de ge-‘0metrie synthetique,Dans Ie dernier chapitre on discute de nouveau les problemes de construction des cubiques.On у donne la classification des methodes de cette construction: la methode generale de lieux g^ometriques et ses casspeciaux: Ie cas de faisceaux projectifs, de roulement de paraboles, de droites qui sont en rotation autour de deux pointsimmobiles.Dans Ie V ieme chapitre sont donnees aussi les methodesinteressantes de construction de cubiques dues a Mm.: Servais,Jerabek et Casey dont on у a obtenu de nouvelles demon•strations.Dans la deuxieme partie du chapitre sont donnees diverses methodes de transformations geometriques pour obtenir lescubiques circulaires en partant de courbes plus simples: cesont la methode d’antinversion et celle d’inversion generale,la methode de transformations de Maclaurin et de Newton, aumoyen desquelles on obtient les cubiques circulaires commederivees de cercles et d’autres courbes.A la fin du memoire sont consideres trois exemples quise rattachent aux theories precedentes.
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