ΝΙΚΟΣ ΚΙΣΚΥΡΑΣ

Το 1981 είχα στείλει δύο ασκήσεις γεωμετρίας για δημοσίευη στο περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ της Ελληνικης Μαθηματικής Εταιρείας. Η συντακτική επιτροπή μου έστειλε παρατηρήσεις.

ΨΗΦ. ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Mail Antreas P. Hatzipolakis

ΑΠΧ, ΕΠΙΣΤΟΛΗ (QUANTUM)

Αντρέας Π. Χατζηπολάκης, Επιστολή. Quantum, τόμος 1, τεύχος 4, Νοέμβριος / Δεκέμβριος 1994, σ. 53

Mail Antreas P. Hatzipolakis

APH, AMM E 2605*

Andreas P. Hadjipolakis, Problem E 2605*. The American Mathematical Monthly vol. 83, No. 7, August - September 1976, p. 566.
Sent Problem

Reply by the Editor

Published Problem

Solution
E2605. Andreas P. Hadjipolakis and Roger Weitzenkamp, The American Mathematical Monthly Vol. 84, No. 10 (Dec., 1977), pp. 822-823.

Reference
A038522

Mail Antreas P. Hatzipolakis

APH - PY problems

Professor Paul Yiu

PROBLEMS
Proposed by Antreas P. Hatzipolakis and Paul Yiu

CRUX MATHEMATICORUM vol 26, No. 3, April 2000, p. 177, #2525.
ΨΗΦ. CM2525
Solutions: CRUX MATHEMATICORUM vol. 27, No. 4, May 2001, pp. 270-271.
ΨΗΦ. CM2525
Reference: CRUX MATHEMATICORUM vol 38, No. 10, December 2012, pp. 418-419.
ΨΗΦ. CM2525

CRUX MATHEMATICORUM vol. 29, No. 6, October 2003, p. 399, #2867.
ΨΗΦ. CM2867
Solutions: CRUX MATHEMATICORUM vol. 30, No. 6, October 2004, pp. 378-379.
ΨΗΦ. CM2867
Reference: CRUX MATHEMATICORUM vol 38, No. 10, December 2012, p. 419.
ΨΗΦ. CM2867

Mail Antreas P. Hatzipolakis

ΠΗΝΕΛΟΠΗ ΚΑΚΡΙΔΗ - ΘΕΟΔΩΡΑΚΟΠΟΥΛΟΥ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ. Υπό ΠΗΝΕΛΟΠΗΣ ΚΑΚΡΙΔΗ - ΘΕΟΔΩΡΑΚΟΠΟΥΛΟΥ. ΔΕΛΤΙΟΝ ΤΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΕΤΑΙΡΕΙΑΣ ΤΟΜΟΣ Κ, Εν Αθήναις 1940, σελ. 120 - 138.
ΨΗΦ. ΠΗΝΕΛΟΠΗ

Βιογραφία:
"Η δεύτερη γυναίκα βοηθός στο Μαθηματικό είναι η Πηνελόπη Κακριδή, μέλος μιας οικογένειας με μακρά επιστημονική και πανεπιστημιακή παράδοση[44]. Η Πηνελόπη Κακριδή συμμετέχει στις πρώτες εισιτήριες εξετάσεις για το Μαθηματικό, το 1926. Εισάγεται και εγγράφεται για το πανεπιστημιακό έτος 1926-27. Ωστόσο δεν παρακολουθεί μαθήματα. Μεταβαίνει στο Μόναχο όπου εγγράφεται στο εκεί Πανεπιστήμιο και παρακολουθεί μαθήματα για τρία έτη (το πρώτο ως ακροάτρια λόγω ηλικίας). Το 1929 επιστρέφει στην Αθήνα και ζητά την εγγραφή της στο Μαθηματικό ως τεταρτοετής, δικαίωμα που της παρέχεται κατόπιν εξετάσεων στα μαθήματα του Γ΄ έτους[45]. Στη Σχολή προσλαμβάνεται το 1931, αρχικά ως προσωρινή βοηθός στο Μαθηματικό Σπουδαστήριο[46]. Κατόπιν, με αξιοποίηση της δυνατότητας που έδινε ο Οργανισμός του 1932 για διορισμό βοηθών σε έδρες, προσλαμβάνεται ως βοηθός στην έδρα της Μαθηματικής Ανάλυσης του θείου της καθηγητή Ν. Χατζιδάκι. Το 1935 υποβάλλει τη διδακτορική της διατριβή της, με εισηγητή τον καθηγητή Π. Ζερβό, που εγκρίνεται από τη Σχολή με το βαθμό «Άριστα»[47]. Στην ίδια συνεδρίαση η Σχολή αποφασίζει, με πρόταση του καθηγητή Κ. Μαλτέζου, να αποδοθεί στην Πηνελόπη Κακριδή για την διδακτορική της διατριβή το Παπαστράτειο Βραβείο[48]. Το 1937 πραγματοποιεί δύο δημοσιεύσεις στο περιοδικό Mathematische Annalen[49]. Η αποχώρηση του Ν. Χατζιδάκι από την έδρα το 1938 θα την οδηγήσει να απευθύνει ερώτημα σχετικά με τον προσδιορισμό των καθηκόντων της, ερώτημα που η Σχολή θα παραπέμψει στον Νομικό Σύμβουλο του Πανεπιστημίου[50]. Το ακαδημαϊκό έτος 1938-39 είναι το τελευταίο που η Π. Κακριδή παραμένει στη θέση της βοηθού. Έχει μεσολαβήσει ο γάμος της, το 1935, με τον καθηγητή Φιλοσοφίας του Πανεπιστημίου Αθηνών Ιωάννη Θεοδωρακόπουλο με τον οποίο θα αποκτήσει τρία παιδιά[51]."
[44] Γονείς της Πηνελόπης Κακριδή είναι ο Θεοφάνης Κακριδής, καθηγητής Λατινικής Φιλολογίας στο Πανεπιστήμιο Αθηνών, και η Ελένη-Μαρία Χατζηδάκι. Από την πλευρά της μητέρας της, παππούς της είναι ο Ιωάννης Χατζιδάκις και θείος της ο Νικόλαος Χατζιδάκις, και οι δύο καθηγητές Μαθηματικών στο Πανεπιστήμιο Αθηνών (έτη εκλογής 1884 και 1904 αντίστοιχα). Οι δύο αδελφοί της σταδιοδρόμησαν επίσης ως πανεπιστημιακοί. Ο ένας είναι ο καθηγητής της Κλασικής Φιλολογίας Ιωάννης Κακριδής που δίδαξε, μεταξύ άλλων, στα Πανεπιστήμια Αθηνών και Θεσσαλονίκης και ο δεύτερος είναι ο Γεώργιος Κακριδής, καθηγητής του ΕΜΠ.
Παναγιώτης Κιμουρτζής - Βίκυ Σιγούντου, Η εποχή που τα πρωτόνια είχαν φύλο. Γυναίκες στη Φυσικομαθηματική Σχολή του Πανεπιστημίου Αθηνών (1922-1967), Academia Vol. 6. No. 1 (2016) 79 - 132.
ΨΗΦ. Κιμουρτζής - Σιγούντου

Μη έχοντας φωτογραφία της Πηνελόπης, αναρτώ φωτογραφια του συζύγου της (αριστερά) και του αδελφού της Ιωάννη (κέντρο)

Mail Antreas P. Hatzipolakis

TRIBONACCI

 

MY_OLD_NOTEBOOK

ENGLISH_TRANSLATION

MY_POST_TO_HYACINTHOS
 

On Sun, 19 Nov 2000 I wrote:
 

>
> /
> angle w / angle q
> /
> / I_0
> J_0 /
> / I_1
> J_1 / I_2
>--------------------------/-----------------------------
>
>(I_0, r_0), (I_1, r_1), (I_2,r_2),...... is a decreasing sequence of circles
>inscribed in the angle q, and (I_n) touches externally both (I_n-1, I_n+1)
>
>(J_0, R_0), (J_1,R_1), .... is a similar sequence but in the angle w(omega)
>
>Now, if R_0 = r_0, and R_1 = r_2, find the angles.
 

Here is the solution:

We have:
1 - sin(q/2) 1 - sin(w/2)
r_n = r_0 *(-------------)^n, R_n = R_0 * (------------)^n
1 + sin(q/2) 1 + sin(w/2)

If r_0 = R_0, r_2 = R_1 we get:

1 - sin(q/2) (1 - sin(w/2)
(------------)^2 = ------------- (1)
1+ sin(q/2) (1 + sin(w/2)

q + w = Pi ==> sin(w/2) = cos(q/2) := a & cos(w/2) = sin(q/2) := b

a, b in (0,1)

1 - b 1 - a 2b
(1) ==> (-------) ^ 2 = ------- ==> a = -------- (2)
1 + b 1 + a 1 + b^2

We have: a^2 + b^2 = 1 (3)

(2) and (3) ==> b^6 + b^4 + 3b^2 - 1 = 0 ==>

(b^3 + b^2 + b - 1)(b^3 - b^2 + b + 1) = 0

and since 0 < b < 1, ==> b^3 + b^2 + b - 1 = 0

The acceptable root of this equation is that one in (0,1).

This root is 0.5436890126........, a well-known constant, namely:

T_n
lim --------
n -->+oo T_(n+1)

where T_n is the Tribonacci sequence: 0,1,1,2,4,7,13,24,44,81,149,274,504,...
(T_1 = 0, T_1 = 1, T_2 = 1, T_(n+2) = T_n + T_(n+1) + T_(n+2))

cos(w/2) = b ==> w = 114d 7' 47",13....

Steven Finch, in his page "Cubic Variations of the Golden Mean" at:

http://www.mathsoft.com/asolve/constant/gold/cubic.html

T_(n+1)
asks about 1/b = lim --------- = 1.839286.... :
n --> +oo T_n

<quote>
[T]he ratio A/B is 1.8392867552.... Are other geometric interpretations
of this constant possible?
</quote>

Welll... the above is one!

Other references for Tribonacci Constant:

Simon Plouffe's page, containing 2000 digits of Tribonacci constant
http://plouffe.fr/simon/constants/tribo.txt

Brian Hayes: Computing Science. The Vibonacci Numbers
American Scientist July-August, Volume 87, No. 4


Antreas

 

ΒΟΕΙΚΟΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑ - ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ

ΤΟ ΒΟΕΙΚΟΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΤΟΥ

ΣΤΗΝ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ

Ιωάννου Γρ. Αυδή, Συμβολή εις την σπουδήν των Στοιχειωδών Μαθηματικών. (Προς χρήσιν Μαθητών και Σπουδαστών). Τεύχος Α'. Θεωρητική Αριθμητική (Ι). Αθήναι 1955. Βοεικόν Πρόβλημα του Αρχιμήδους σελ. 68 - 79.
ΨΗΦ. ΑΥΔΗΣ

Σημειώσεις:
Ο προηγούμενος κάτοχος του βιβλίου σημειώνει ότι η εξίσωση x^2 - ky^2 = 1 (που ο Αυδής τη γράφει εξίσωση Langrange - Fermat και είναι κοινώς γνωστή ως εξίσωση του Pell), θα πρέπει να ονομάζεται εξίσωση του Αρχιμήδη

Ο Ν. Καστάνης (Μαθηματική Παιδεία, τεύχος 3, Μάρτιος 1998) γράφει στη βιογραφία του Ι. Αυδή:

********

Μαυρικίου Α. Μπρίκα, Το Βοεικόν Πρόβλημα του Αρχιμήδους. Σπουδαί 26, No 4 (1976) 919 - 949 (και ανάτυπο, σελ. 1 - 33)
ΨΗΦ. ΜΑΥΡΙΚΙΟΣ ΜΠΡΙΚΑΣ

Mail Antreas P. Hatzipolakis